Момент инерции колеса формула

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ

АКАДЕМИЯ»

Лаборатория механики и молекулярной физики №1(213а)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА

Отредактировал: Кораблев Г.А.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА

Цель работы:ознакомление с косвенным методом определения момента инерции тел.

Приборы и принадлежности:1) установка для определения момента инерции; 2) штангенциркуль; 3) электросекундомер.

В большинстве применяемых в технике машин имеются вращающиеся части, моменты инерции которых необходимо знать, а значит и уметь их определять.

Моментом инерции любого тела относительно какой-либо оси называется сумма моментов инерции всех точек тела относительно этой оси (рис. 1):

Моментом инерции Ii материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы данной точки на квадрат расстояния её до этой оси (рис.1): Следовательно, нахождение момента инерции тела сводится к нахождению интеграла пределы интегрирования которого определяются формой и размерами тела.

. В законах вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса при поступательном движении. Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела во вращательном движении. Из сказанного следует, что момент инерции тела относительно данной оси зависит от массы тела и от её распределения относительно оси вращения. Для однородных тел правильной геометрической формы момент инерции вычисляется по формулам. Например, для диска радиуса R (рис.2) момент инерции оси ОО1 равен (1) Для тел, не обладающих простой формой, расчёты усложняются. В этих случаях прибегают к опыту.

В настоящей работе предлагается определить момент инерции велосипедного колеса, которое не представляет собой ни сплошной диск, ни обруч, т.е. не является телом простой формы. Расчёт момента инерции можно произвести на основании применения закона сохранения энергии, заставив колесо вращаться под действием падающего груза.

d

Установка (рис.3) работы состоит из колеса МК, насаженного на ось вращения шкива, на который наматывается нить, груза Р, пускового электромагнита ЭМ и электросекундомера ЭС.

ЭМ
ЭС
Ш

Если груз Р поднять на высоту h до электромагнита и затем дать возможность падать, то посредством намотанного на шкив шнура он приведёт во вращение колесо. Измерив количество оборотов, совершённых колесом, и время падения груза, можно рассчитать момент инерции колеса.

Т
Т
Р

Действительно, при падении груза Р с высоты h, его потенциальная энергия Ph будет израсходована на кинетическую энергию падения груза на кинетическую энергию вращения колеса и на работу по преодолению сил трения здесь m – масса груза, V – скорость при падении, ω – угловая скорость колеса, n1 – полное число оборотов колеса при падении груза с высоты h, А – работа по преодолению трения при одном обороте колеса, I – момент инерции колеса.

На основании закона сохранения энергии будем иметь:

(2)

d
МК
ЭМ

Определим работу А по преодолению сил трения при одном обороте. В момент достижения грузом нижней площадки прекратится действие груза, но колесо будет продолжать вращаться до полной остановки, при этом его кинетическая энергия вращения израсходуется на работу против сил трения. Допустим, с момента прекращения действия груза до остановки маховое колесо сделает n2 оборотов. Тогда работа по преодолению сил трения, как и в первом случае, определяется по формуле: отсюда (3)

Ш
ЭС

В выражение (2) вместо А подставим значение (3) и, сделав преобразования, получим: (4)

Р

Скорость груза в конце падения с высоты h определится из формулы:

Т
Т

Угловая скорость вращения колеса ω связана с линейной скоростью точек колеса, равной скорости падения груза: Подставив значения V и ω в формулу (4), получим: Выразив из этого уравнения I, получим:

(5)

Величины r, h находятся измерением, n1, n2, t – опытным путём, величины m, g известны.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерить штангенциркулем диаметр шкива d, на который наматывается нить (рис. 3). Вычислить радиус шкива r по формуле:

2. Установить стрелку секундомера на ноль путём нажатия на шток Ш (рис.3).

3. Включить установку в сеть и поставить тумблер Т в положение «ВКЛ», при этом загорится лампочка.

4. Поворотом колеса против часовой стрелки намотать нить на шкив так, чтобы груз Р был притянут электромагнитом (основание груза должно быть против отметки на линейке, а тумблер Т должен находиться в положении «включение электромагнита»).

5. Перевести тумблер Т в положение «включение секундомера». Груз освободится от электромагнита и создаст крутящий момент для колеса. При помощи электросекундомера измерить время падения груза. При падении груза электросекундомер будет включенным до момента падения груза на площадку. Подсчитать полное число оборотов N до остановки колеса. Результат измерения времени t и подсчёта N занести в таблицу 1. Опыт повторить не менее пяти раз.

6. Подсчитать число оборотов колеса за время падения груза по формуле: число оборотов n2 от момента прекращения падения груза до полной остановки колеса определить по формуле: где N – полное число оборотов колеса. Полученные результаты занести в таблицу 1.

7. Вычислить погрешность измерений Dt.. Вычисление погрешности измерений провести по стандартной методике, приведённой в приложении. Коэффициент надёжности α, необходимый для вычисления коэффициента Стьюдента, задаёт преподаватель. Результаты вычислений занести в таблицу 1.

8. Вычислить момент инерции велосипедного колеса по формуле:

,

где m = (205,0 ± 0,1) г.

Читайте также  Панорамная крыша и люк с электроприводом

9. Найти абсолютную и относительную погрешности момента инерции по формулам: . Результаты вычисления занести в таблицу 2.

10. Округлив полученные результаты, записать ответ по форме:

Ответ: момент инерции велосипедного колеса равен:

I = ( ± DI) ед. измерения.

Пример. Ответ: скорость звука в воздухе равна: V = (330 ± 1) м/c.

Таблица 1 Измерение времени падения груза

№ изм. N n1 n2 ti, c ∆ti, c (∆ti) 2 , c 2 Данные и результат
α = tnα =
σ =
r = ∆r =
∆t =
Еt=
n(n-1)= = = = = ∆tp= Snt= t = ±∆t =

Таблица 2 Вычисление момента инерции колеса

I, кг . м 2 ∆I, кг . м 2 ЕI

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется моментом инерции материальной точки, тела?

2. Рассказать теоретические обоснования данной работы. В каких случаях используется данный метод?

3. Выведите расчётную формулу момента инерции махового колеса.

4. Расскажите последовательность выполнения работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1982, т.1, §§ 36-39.

2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. М., 1972, т.1, § 11.

3. Грабовский Р.И. курс физики. М., 1980, ч.1, §§ 21-23.

Приложение

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10178 – | 7216 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В работе испoльзуются два способа экспериментального определения момента инерции. Первый основан на использовании зависимости периода колебаний физического маятника от его момента инерции.Второй – на анализе инерционных свойств твердого тела, закрепленного на оси, при его вращательном движении. Кроме этого, проводится прямой расчет момента инерции исследуемого тела известной геометрии.

Уравнение вращательного движения для твердого тела, закрепленного на оси, имеет вид

. (4.1) где J – момент инерции твердого тела относительно оси вращения, – его угловое ускорение, M– момент внешних сил, приложенных к телу.
Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением массы тела. В частности, для тела, состоящего из конечного числа элементарных (малых) масс mi . . (4.2) где расстояние от элементарной массы до оси вращения. В общем случае, для сплошных тел, суммирование заменяется интегрированием: Для некоторых тел простой формы, возможен прямой расчет момента инерции. При сложной форме тела и неравномерном распределении его плотности аналитический расчет величины момента инерции может стать достаточно сложной задачей.
В данной работе применяются два способа экспериментального определения момента инерции: с помощью анализа колебаний физического маятника, составной частью которого является исследуемое тело, и с помощью изучения вращательного движения этого тела.
Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его колебаний как физического маятника. Если закрепить исследуемое тело А на горизонтальной оси O, проходящей через центр масс (рис.12), то момент сил тяготения будет равен нулю, и тело остается в состоянии безразличного равновесия. Если теперь закрепить на исследуемом теле на некотором удалении L от оси малое тело В с известной массой m, то равновесие перестанет быть безразличным – при равновесии момент силы тяжести, действующий на тело В будет равен нулю. Такую систему тел можно рассматривать как физический маятник.
Уравнение движения такого маятника имеет вид . (4.3) где J,JB – моменты инерции твердого тела А и дополнительного грузика B относительно оси O, g-ускорение свободного падения, угол отклонения тела от положения равновесия, – его угловое ускорение.
Если углы отклонения малы , то можно записать . (4.4) Данное уравнение является уравнением собственных (свободных) гармонических колебаний, его решение имеет вид . (4.5) где – собственная циклическая частота, T -период колебаний, – амплитуда колебаний -начальная фаза колебаний.
Дважды дифференцируя соотношение (4.5) по времени, получаем . (4.6) Сопоставляя (4.4) и (4.6), находим, что . (4.7) В связи с тем, что размеры малого тела В во много раз меньше расстояния до оси L, можно считать его материальной точкой и положить . (4.8) Тогда из уравнений (4.7) и (4.8) получаем . (4.9) Таким образом, для определения момента инерции твердого тела можно закрепить его на оси, проходящей через центр масс, установить на нем добавочное малое тело с известной массой, измерить период колебаний и зная расстояние L, по формуле (4.9) определить неизвестный момент инерции.
Отметим, что при выводе соотношения (4.9) не учитывалось влияние момента сил трения (Mтр ) в оси. Это приближение обусловлено тем, что при достаточно малом Mтр его воздействие приводит прежде всего к постепенному уменьшению амплитуды колебаний и практически не влияет на их период.

Определение момента инерции твердого тела на основе анализа его равноускоренного вращательного движения. Рассмотрим, как и в предыдущем случае тело А, закрепленное на оси O, проходящей через центр масс (рис.13). Соосно с телом закреплен цилиндр С, на который наматывается нить с прикрепленным к ней грузом В.
Под действием силы тяжести груз будет опускаться, приводя исследуемое тело А во вращение. Уравнение движения груза В, уравнение вращательного движения тела А и уравнение кинематической связи имеют вид

. (4.10) . (4.11) . (4.12) где m-масса груза В, J-момент инерции исследуемого тела вместе с цилиндром C, g – ускорение силы тяжести, T-натяжение нити, r-радиус цилиндра, на который намотана нить, Mтр -момент сил трения, a-ускорение тела В.
Из уравнений (4.10) -(4.12) получаем
Читайте также  Покраска в переход видео
. (4.13) Таким образом, если известно ускорение груза В и момент сил трения в оси, то по формуле (4.13) мы можем определить момент инерции исследуемого тела.
Предположим, что груз начинает опускаться с отметки x=0, а мы измеряем время t прохождения его между двумя точками x и x1. Движение грузика в участке x1-x2. является равноускоренным, и можно записать . (4.14) . (4.15) где t1 -время прохождения участка x1-x, t – время прохождения участка x2-x1.
Из (4.14) и (4.15) следует: . (4.16) Решая это уравнение относительно ускорения a, находим . (4.17) Таким образом, для определения a нам нужно знать x,x1,x2 и время t прохождения грузика между точками с координатами x1 и x2.
Рассмотрим соотношения, позволяющие определить момент сил трения. При опускания груза с отметки x на полную длину нити до отметки x3 его потенциальная энергия переходит в кинетическую и в некоторое количество тепловой энергии, по величине равное работе сил трения, . (4.18) где Ф – полный угол поворота тела при его опускании, Ek – кинетическая энергия системы в нижней точке. Предполагается, что момент силы трения при движении остается постоянной, т.е. не зависит от скорости.
После того, как груз опустится на полную длину нити до отметки x3 , тело будет продолжать вращаться, и нить начнет наматываться на цилиндр. В результате груз поднимется до отметки x4. Очевидно, . (4.19) гдеФ – полный угол поворота тела при подъеме груза.
Учитывая, что , получаем величину момента силы трения . (4.20)

Установка представляет собой сплошное колесо (рис. 14), которое может вращаться вокруг горизонтальной оси ( для упражнения 1 AVI (2.6M) и для упражнения 2 AVI (5.5M) ). К цилиндру, расположенному на оси колеса, с помощью нити прикреплен груз. Помещая груз в устройство для его крепления, получаем физический маятник, который может колебаться около положения равновесия. Угол отклонения может быть определен по угломерной шкале. В том случае, когда груз освобожден (при этом устройство для его крепления снимается с колеса), под действием силы тяжести он начнет опускаться, приводя колесо во вращение. Установка снабжена системами регистрации периода колебаний колеса и времени опускания груза.
Для регистрации периода колебаний на колесе симметрично расположены два легких одинаковых по массе тела C1 и C2 . На теле C1 закреплен стержень, являющийся составной частью системы измерения периода колебаний. В исходном положении система зафиксирована с помощью фрикционной муфты, управляемой электромагнитом ( при таком положении муфты светится лампа индикации на кнопке управления электромагнитом). При выключении электромагнита фрикционная муфта освобождает колесо, и оно начинает движение (колебательное или вращательное). Время колебаний колеса определяется с помощью электронного таймера. Время перемещения груза при вращательном движении колеса определяется с помощью того же таймера, включение и выключение которого в этом случае осуществляется оптическими датчиками. Эти датчики крепятся на кронштейнах и могут фиксироваться на различных высотах. Положение датчиков определяется с помощью линейки (рис.14)
Запуск таймера в режиме измерения периодов колебаний осуществляется нажатием кнопки "Пуск", остановка – кнопкой "Стоп". При измерении времени опускания груза нажимают на кнопку "Пуск", после чего на индикаторе электронного таймера высвечивается время прохождения груза между двумя датчиками положения. Переключение таймера в тот или иной режим работы осуществляется тумблером "Колеб.- Вращ.". При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдуших убираются с табло нажатием кнопки "Сброс".

Проведение эксперимента
Упражнение 1. Определение момента инерции колеса методом колебаний.

На краю колеса закрепляют устройство для крепления груза, в которое устанавливают груз, колесо выводят из положения равновесия на угол, не превышающий 10 0 . Определяют время tn полных колебаний n=10 : 15. Такое измерение проводят 3-5 раз. Результаты измерений времени заносятся в табл.4.1.

После этого не менее трех раз измеряют расстояние L от оси вращения до центра масс груза ( это есть расстояние от оси вращения до центра винта, закрепляющего устройство крепления груза на колесе). Результаты заносятся в табл.4.1.

Взвешивают устройство для крепления груза и сам груз. Значения масс тел и mгр заносят в табл.4.1.

Таблица 4.1

N n tn TN ST LN SL mк , mг J SJ 1 2 3 4 5

По экспериментальным данным вычислить выборочные средние значения (средние арифметические значения) величин периода Т и расстояния L.

Вычислить выборочные стандартные отклонения (среднеквадратичные ошибки среднего арифметичсекого) для Т и L

По полученным данным, пользуясь уравнением (4.9) и учитывая, что m=mк+mгр, определяют момент инерции колеса J.

Оценить погрешности для J, используя следующую формулу для расчета погрешностей косвенных измерений:

. (4.21) где Sm дана в описании используемых весов, а Sg находится из таблиц физических постоянных.

Упражнение 2. Определение момента инерции колеса методом вращения.

Снять с колеса устройство для крепления груза.

Измерить время t прохождения груза между отметками x1 и x2. Измерения провести не менее 5-7 раз для фиксированных значений x,x2 и разных x1, каждый раз занося данные в табл.4.2. Измеряют также координату x3 точки, до которой опускается груз при полностью размотанной нити и координату x4 точки, до которой поднимается груз при дальнейшем наматывании нити на цилиндр, пока колесо продолжает свободно вращаться.

Несколько раз измерить радиус r цилиндра, на который наматывается нить.

Таблица 4.2

N x1 x2 #t aN Sa x x3 x4 Mтр SM
1
2
3

По формулам (4.17) и (4.20) определить ускорения aN и моменты сил трения Mтр для каждого измерения. Результаты измерений заносятся в табл.4.2.

Читайте также  Наловил зайчиков от сварки что делать

Поскольку aN и Mтр определяются для различных значений x1, то будем считать полученные значения ускорений и моментов сил трения независимыми. Найти выборочные средние значения ускорения и момента сил трения и выборочные стандартные отклонения этих величин. Результаты вычислений занести в табл.4.2.

Вычислить выборочное среднее значение радиуса цилиндра и среднеквадратичную ошибку этой величины.

По формуле (4.13 ) определить значение момента инерции колеса и его погрешность.

Упражнение 3. Прямой расчет момента инерции колеса

Используемое в установке колесо можно представить как совокупность тел простой формы (рис.15), диска радиуса R1, толщины l1 ; обода толщины l2 с внешним и внутренним радиусами R2,R1; двух малых тел C1 и C2, расположенных на расстоянии R3 от оси; цилиндра, имеющего радиус R4 и толщину l3. Для всех этих тел момент инерции можно рассчитать.
Известно, что момент инерции диска массы относительно оси равен (см. Приложение 4)

. (4.22) а для обода массы mоб (см.Приложение 5) . (4.23) Учитывая, что диск, обод и цилиндр сделаны из одного материала с плотностью , получаем окончательно выражение для момента инерции колеса . (4.24) где mc – суммарная масса тел C1 и C2.
С помощью штангенциркуля и линейки определяют геометрические размеры каждой выделенной части колеса по несколько раз. Результаты измерений заносят в таблицу 4.3.

Таблица 4.3

N 1 2 3 4 5
R 1n
S R 1
R 2n
S R 2
R 3n
S R 3
R 4n
S R 4
N 1 2 3 4 5
l 1n
S l 1
l 2n
S l 2
l 3n
S l 3

Вычисляют выборочные стандартные отклонения для этих величин. Результаты заносят в таблицу 4.3.

По формуле (4.24) рассчитывают значение момента инерции колеса и определяют погрешность.

Рассчитанное значение момента инерции колеса сравнивают с значениями, полученными экспериментально в упражнениях 1 и 2.

Основные итоги работы
В процессе выполнения работы должен быть определен момент инерции колеса двумя способами. Следует сопоставить эти результаты с величиной вычисленного по (4.24) момента инерции.
Контрольные вопросы

Что такое главные оси инерции? Центральные оси? Привести примеры.

Что такое момент инерции тела относительно закрепленной оси?

Чему равны моменты инерции следующих тел: тонкая палочка, тонкий диск, тонкие прямоугольная и треугольная пластины, цилиндр, шар, параллелепипед? Как их получить?

Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

Литература

    Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика твердого тела. Лекции (Университетский курс общей физики). М.: Изд-во физического факультета МГУ, 1998.

    Шестаков И.Г. (гр. 513)

    Определение моментов инерции махового колеса

    Принадлежности: установка; набор грузов; линейка; штангенциркуль; секундомер; весы.

    В данной работе момент инерции колеса определяется двумя методами.

    На шкив А (или В) наматывается нить с прикрепленным к ней грузом Р (рис. 1). Падая груз разматывает нить и приводит систему (маховое колесо К, шкивы А и В, ось С) во вращательное движение. При этом потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию груза и кинетическую энергию вращательного движения системы.

    На основание закона сохранения энергии можно записать:

    (I)

    – потенциальная энергия груза в верхнем положении, и – соответственно кинетическая энергия груза и кинетическая энергия вращающейся системы в тот момент, когда нить полностью размотается; – энергия, затрачиваемая на работу против сил трения.

    Введем обозначения: m – масса груза; h – максимальная высота его подъема; V – скорость груза в нижнем положении; r – радиус шкива; Io – момент инерции системы; – ее угловая скорость в момент, когда груз достигает нижнего положения.

    Тогда уравнение (I) может быть переписано в виде:

    .(2)

    Так как момент сил трения не зависит от скорости вращения, то движение системы будет равноускоренным.

    Зная высоту h и время движения груза t, легко подсчитать его скорость в нижнем положение:

    .(3)

    Если нить разматывается без скольжения, то линейная скорость точек на поверхности шкива равна скорости груза и

    .(4)

    Работа против сил трения пропорциональна числу оборотов, совершаемых системой, т.е.

    ,(5)

    где – работа против сил трения за один оборот.

    .(6)

    находится следующим образом.

    В момент достижения грузом нижнего положения нить отделяется от шкива, а система продолжает вращаться, совершая работу против сил трения за счет приобретенной кинетической энергии .

    .(7)

    – число оборотов системы до поной остановки.

    Используя соотношения (3), (4), (5), (6) и (7), можно представить (2) в следующем виде:

    ,

    .

    Все величины, входящие в правую часть этого равенства могут быть измерены на опыте.

    Если на некотором расcтоянии l от центра колеса прикрепить к нему дополнительный груз Q (рис. 2), то система превращается в физический маятник.

    Выведенный из положения равновесия, маятник будет совершать колебания под действием момента силы тяжести дополнительного груза. Пренебрегая силами трения, можно записать уравнение движения маятника в виде:

    ,

    где – момент инерции маятника, масса дополнительного груза.

    Для малых углов , т. е.

    ,

    .(8)

    Уравнение (8) представляет собой уравнение гармонических колебаний с периодом

    .

    .

    1. Определение момента инерции системы методом вращения .

    – число оборотов за время раскручивания нити.

    – число оборотов системы без нити.

    ; h=M-l, где M=181 см. – длина нити, a l – расстояние, на которое груз отступает от шкива.

    Эксперимент проводился для 2-х различных грузов и на 2-х разных шкивах различного радиуса.

    А) m=249г; d=7.47 см; r=3.75см ; h = 163см.

    , c

    Момент инерции вычислялся по формуле ;

    Во всех вычисления подразумевается

    Погрешность вычислялась по формуле :

    ; ; ; ;

    ; ; ; ;

    ; ; ; ;

    ; ;

    ; ;

    ; г*м; г*м;

    Источник: automotogid.ru

    Автоматика